요약
수학 유튜브 채널 3Blue1Brown의 그랜트 샌더슨이 수학 교육의 고질적인 문제를 다룬 강연 영상입니다.
그랜트 샌더슨이 2023년 미국 합동수학회의(JMM)에서 JPBM 상을 받으며 한 수상 강연입니다. 원문을 읽지 못했습니다. HN 이용자에 따르면 그는 내용을 엄밀하게 다 쓰고 나면 일이 끝났다고 여기기 쉽다고 지적합니다. 이어 정의마다 동기를 주는 예시가 있는지, 증명을 스스로 다시 찾아낼 수 있을 것처럼 느껴지는지 같은 점검 목록을 내놓습니다.
HN 반응
- 영상의 점검 목록이 연구 논문에도 들어맞는다며, 논문에서 정의의 동기와 발견 과정을 지우는 관행을 아쉬워하는 의견이 나왔습니다.
- 수학은 영상만 봐서는 배울 수 없고 직접 문제를 풀어야 한다는 주장이 많았지만, 이런 영상도 직관을 얻는 보조 자료로 가치가 있다는 반론이 맞섰습니다.
수학자들은 거짓말을 합니다.
(생략을 통한) 세 가지 거짓말은 이렇습니다.
이 풀이가 내가 문제를 푼 방식이다. 문제 풀이를 A* 탐색으로 본다면, 제시된 풀이는 실제로 문제를 풀면서 한 일이 아닙니다. 수학을 배우는 사람은 풀이 사례를 통해 수학이라는 공간을 탐색하는 법을 익히게 되어 있습니다. 그런데 칠판에 적힌 단계는 하나같이 올바른 방향으로 가는 단계이고, 잘못된 방향으로 간 단계들과, 문제를 풀려는(혹은 문제를 정의하려는) 초기에 되돌아간 과정은 빠져 있습니다.
이 아이디어는 추상적이어서 현실과 아무 관계가 없다. 수학은 추상화라는 증류 과정입니다. 이 정제 과정에서 현실에 대한 모든 선입견이 걸러지므로 결과는 엄밀하고 보편적입니다. 그 탓에 현실과의 연결을 아예 부정하는 경우도 많습니다. (잘 알려진 반례가 바둑에 대한 콘웨이의 분석이고, 이것이 초현실수로 이어졌습니다.)
이것이 유일하고 올바른 방법이다. 풀이, 정의, 공리가 하나만 제시되고 대안이 되는 정의는 생략됩니다. 이 점은 고등교육으로 갈수록 나아집니다(수를 정의하는 방법이 얼마나 많은지 생각해 보세요).
실제로 수학을 하는 모습은 이렇지 않습니다. 이런 식이면 학생들은 좌절하게 되고, 수학이란 모든 걸 처음부터 올바르게 해내는 것이고, 직관적으로 생각하는 건 틀린 것이며, 결국 해서는 안 되는 것에 관한 학문이라고 (잘못) 배우게 됩니다(시험에서 받는 피드백이 실수를 짚어 주는 것뿐이니까요).
우리가 할 일은 이런 걸 바로잡고 탐구하는 법을 다시 가르치는 것입니다. 수학도 모든 보편 언어처럼 무엇이든 원하는 대로 기술할 수 있다는 것, 해법을 찾는 일은 시행착오라는 것, 직관은 좋고 빠르지만 흐릿해서 오도할 수도 있다는 것, 해법을 찾았다고 멈추지 말고 더 잘 이해하기 위해 주변을 더 탐구해야 한다는 것, 그리고 우리가 지금처럼 정의하는 데에는 충분한 이유가 있지만 그것이 유일한 방법은 아니라는 것(선택공리, 당신 얘기입니다)을 다시 가르쳐야 합니다.
비유를 하나 들자면, 그러지 않으면 우리는 보이스카우트에게 방향 잡는 법을 가르치면서 내비게이션이 알려 주는 최단 경로만 가르치는 셈입니다.
1, 2, 3번이 그렇게 인식되고 있고, 가르치는 방식 때문에 가끔 실제로 그렇게 된다는 점에서는 맞다고 생각해요. 하지만 저는 수학을 업으로 삼으면서도, 학교에서도, 이런 생각이 교사들의 실제 신념이라는 인상을 받은 적은 없어요.
수학이 현실과 어떤 관계인지를 그렇게 자신 있게 단정하는 것도 잘못이라고 생각해요. 아주 미묘한 철학적 문제거든요.
그리고 말씀하신 "반례"가 어째서 반례인지, 하물며 어째서 "잘 알려진" 반례인지도 모르겠어요. 쓰신 대로라면 두 가지 다 아주 추상적이고 제가 보기엔 "현실 세계"와는 전혀 상관이 없거든요. 아니면 여기서도 수학이 순전히 추상적인 영감으로 뭔가를 지어내는 게 아니라 실생활에서 벌어지는 일에서 영감을 얻는다는 사실을 말씀하시는 건가요? 제가 만나 본 수학자 중에 이걸 부정할 사람은 없어요. 사실 철학적으로는, 인간의 "순수하게 추상적인 생각"을 실생활에서 추론하는 방식과 갈라놓는 게 과연 가능한지도 흥미로운 문제예요. 그건 플라톤까지 거슬러 올라가는 얘기죠.
"보편 언어"나 "원하는 대로 무엇이든 기술할 수 있다" 같은 표현을 그렇게 강하게 갖다 붙이는 것도 조심해야 한다고 생각해요.
푸념이 길어서 죄송해요. 우리가 가르치는 방식과 연구자들이 알아내는 방식에 대한 생각에는 저도 동의해요.
흥미로운 지적이네요. 직관에 관해서라면 https://betterexplained.com 을 강력히 추천해요. 당신의 생각과 맞닿은 대안적 접근의 훌륭한 사례거든요.
웃긴 건, 그가 영상 나머지 부분에서 하는 조언이 전부 연구 논문에 적용해도 훌륭할 내용이라는 점입니다. 저는 연구 논문을 교육적으로 쓰는 건 '흔치 않은' 일이라는 이유로 말리는 사람들을 만난 적이 있는데, 실제 속뜻은 그렇게 쓰면 낮춰 본다는 얘기였습니다. 정의가 어떤 동기에서 나왔는지, 어떤 과정으로 발견됐는지 같은 사람 냄새 나는 세부를 걷어내고 논문을 쓰는 게 관행이라니, 좀 비극적입니다. 이런 정보는 보통 대면 대화나 가끔 있는 연구 발표에서나 공유되는데, 정작 어느 분야에서 연구를 할 수 있게 해 주는 핵심 지식은 이런 것인 경우가 많습니다.
아무튼 정말 좋은 영상입니다. 작업물이 명료한지 점검하는 체크리스트를 간단히 제시하는데요.
정의마다 동기가 되는 예시가 있는가?
증명[이나 다른 결과]이 스스로 다시 발견할 수 있을 것처럼 느껴지는가?
개성이 있는가?
핵심 아이디어를 도해로 보여 주는가?
상대적인 중요도가 강조되어 있는가?
...
추상 개념을 도입하기 전에 동기가 되는 예시를 먼저 보여 주는 것이 얼마나 강력한지 보여 주는 멋진 사례도 소개합니다. 이걸 보면서 왜 그가 그토록 훌륭한 수학 교육자인지 실감했습니다. 아직 그를 모르시는 분이 있다면 유튜브 채널 3Blue1Brown을 강력히 추천합니다.
지도교수들이 학생에게 그런 식으로 쓰지 말라고 말리는 건, 그렇게 쓰는 데에는 섬세한 기술이 필요한데 그 커리어 단계에서는 그 수준을 맞추기 어렵기 때문이라고 생각합니다. 제 분야에서 마르틴 하이러나 세드리크 빌라니의 글(심지어 리만의 그 유명한 제타 함수 논문까지)을 읽어 보면, 동기를 설명하고 정보도 충실하면서 동시에 간결합니다. 특히 빌라니는 개성도 가득하고요. 이 균형은 잡기가 어렵고, 주제와 독자에 대한 뛰어난 이해가 있어야 합니다.
그래도 이런 글쓰기를 더 장려해야 하는 건 맞습니다. 최근의 기계학습 이론 논문(경험적 연구가 아니라 순수 이론)에서는 학생에게조차 좋은 균형에 더 가까운 글쓰기를 기대하는 것 같습니다.
동기가 되는 예시를 넣는 것이 핵심이며, 필수로 여겨야 합니다.
심사위원 1은 비유의 절반을 오해의 소지가 있다고 분류할 거고, 심사위원 2는 나머지 절반을 문제 삼을 거예요. 어차피 편집자는 출판 전에 분량부터 줄이라고 할 테고요.
”교육의 뿌리는 쓰지만 그 열매는 달다.” — 아리스토텔레스
'그랜트 샌더슨'보다 '3Blue1Brown'이라고 쓰는 편이 훨씬 알아보기 쉬웠을 거예요 :)
그는 이미 충분히 공인의 반열에 올라서, 유튜브 채널 이름만이 아니라 본인 이름으로 불릴 자격도 얻었다고 생각해요.
최근에 알게 된 자료인데, 다른 분들께도 유용할 것 같아 공유합니다.
Math Made Visual: Creating Images for Understanding Mathematics, 클라우디 알시나·로저 넬슨 - https://bookstore.ams.org/CLRM/28
로저 넬슨은 3권짜리 Proofs without Words, Nuggets of Number Theory: A Visual Approach 같은 비슷한 책도 썼습니다. - https://bookstore.ams.org/browse?Author=%22Roger%20B.%20Nelsen%22
좋네요, 감사해요! https://betterexplained.com 도 한번 보세요.
(관련은 없고, 그냥 팬이에요)
철학적, 인지적 관점의 흥미로운 연구로는 다음을 보십시오.
Visual Thinking in Mathematics: An epistemological study, 마커스 지아퀸토 - https://academic.oup.com/book/11260
서문에서 인용합니다.
이 책은 힐베르트와 콘포센 식의 수학 교재가 아닙니다. 아다마르 식의 심리학적 탐구도, 폴리아 식의 사용법 안내서도 아닙니다. 이 책은 인식론 저작입니다. 그러나 수학 인식론을 다룬 거의 모든 다른 글과 달리, 인지과학과 수학 교육 연구의 성과로부터 제약을 받습니다. 그래서 이 책은 학제적 뿌리를 갖고 있습니다.
인기 없는 의견일 수 있지만, 제 생각에 깊이 있는 학습(deep learning)과 문제 풀이를 대신할 수 있는 건 없습니다. 수학은 다른 과목과 달라서 정면으로 직접 부딪쳐 봐야 합니다. 역사 팟캐스트를 듣거나 영상을 보듯 수동적으로 소비해서는 안 됩니다.
수학 공부에 관한 의견 중에서는 이게 단연 가장 인기 있는 의견이에요.
수학만 그런가요, 거의 모든 배움이 그렇죠? 유튜브로 운전을 배울 수는 없잖아요. 집 페인트칠도, 설거지도, 코딩도 마찬가지고요. 배움에는 직접 해 보는 게 필요합니다.
대체 누가 다르게 생각해요?
3Blue1Brown 같은 채널이 말도 안 되게 인기 있는 걸 보면, 꽤 많은 사람이 그렇게 생각하는 것 같습니다. 보면서 배우는 쪽이 직접 해 보며 배우는 쪽보다 인기가 몇 자릿수는 더 높죠. 아마 그 지식을 시험대에 올리지 않고도 똑똑해진 기분이 들기 때문에, 새로운 개념을 익히는 더 나은 방법처럼 보이는 것이겠죠.
HN에도 어떤 수학 개념에 대한 유튜브 영상이나 퀀타 기사를 하나 보고는 그걸 들고 내달리는 사람이 많습니다.
저는 그렇지 않다고 봅니다.
우선, 영상을 보는 것만으로는 수학을 배우기에 충분하지 않다고 해서, 영상이 수학 공부에 훌륭한 보조 자료가 될 수 없다는 뜻은 아닙니다. 예를 들어 3B1B의 선형대수 영상은 선형대수가 왜 그런 식으로 되어 있는지에 대한 기하학적 이해와 동기를 얻기에 훌륭한 도구지만, 물론 행렬의 역행렬을 구하는 법까지 가르쳐 주지는 않습니다. (제 기억에 그 자신도 시리즈 내내 같은 취지의 말을 여러 번 직접 합니다.) 수학 영상을 본다고 해서 모두가 수학을 얄팍하게 접하는 건 아니고, 진지하게 공부하는 학생에게도 얻을 게 많습니다.
다음 논거로, 조회수가 엄청나다는 건 진지한 학생의 수가 비현실적으로 많다는 뜻이라고 하실 수도 있겠습니다. 맞는 말이지만, 그래도 사람들이 영상 시청을 수학을 배우는 좋은 방법이라고 생각한다는 증거는 되지 못합니다. 특히 그 사람들이 수학을 배우려고 애쓰면서 그 영상을 본다는 증거는 어디에도 없습니다. 아름답고 흥미롭고 잘 만든 영상이니, 자기가 수학을 깊이 배우고 있는 건 아니라는 걸 충분히 알면서 가볍게 즐기는 사람도 분명히 많을 겁니다. 저는 그게 잘못이라고 생각하지 않습니다!
영상을 보기만 해도 실제로 수학을 배우고 있다고 생각하는 시청자도 일부는 있겠지만, 그 비중은 비교적 작을 거라고 장담합니다.
저는 3Blue1Brown 영상이 아주 깨달음을 주기 때문에 봅니다. 보고 듣기에도 무척 좋고 제작 퀄리티도 매우 높습니다. 영상을 보는 것만으로 수학을 많이 배운다고 우길 생각은 없지만, 수학 문제와 수학 개념을 다룬 영상이라는 그 자체가 좋아서 어쨌든 봅니다.
하지만 그렇게 해서는 배우는 게 거의 없습니다. 잊어버리고, 어쩌다 기억에 남은 조각을 어떻게 적용하는지도 모릅니다. 단어와 개념 몇 개만 기억해서 다른 사람에게 되풀이할 수 있을 뿐이죠. 시청자의 99%(혹은 그 이상)에게는 그거면 충분합니다. 확률론이나 미분을 실제로 적용할 일이 없으니까요. 그러니 이건 오락입니다. 지적이고, 다른 대부분의 콘텐츠보다 흥미롭고, 때로는 자극이 되기도 하지만 어쨌든 오락입니다. 그 지식을 정말 적용하고 싶은 나머지 1%는 결국 연습을 해야 합니다.
"그 유튜버가 내 선생님/교수님이었으면 훨씬 잘 배웠을 텐데" 같은 댓글이 자주 보여요.
그런데 아니요, 저는 그렇게 생각하지 않아요. 재미있게 들었을 수는 있겠지만, 선생님은 여러분이 실제로 배우게 만들었잖아요. 개념을 잘 설명하는 능력도 중요하지만, 그건 배움으로 가는 길의 첫걸음일 뿐이에요.
음, 글쎄요, 저는 잘 모르겠어요. 정말 끔찍한 수학 선생님을 겪어 보신 적이 없는 것 같아요. 저는 고등학교에서 행렬 곱셈을 처음 배운 때가 또렷이 기억나요. 동기 설명은 전혀 없이 계산 절차만 가르쳐 줬어요. 그림 한 장 그리지 않고, 예제 몇 개 풀어 보이더니 거대한 연습 문제지를 나눠 주더라고요. 저는 그 수업에서 선형대수를 배우지 못했어요. 그랜트 샌더슨이 가르쳤다면 분명 배웠을 거예요.
안타깝게도 많은 사람이 겉으로 말하지는 않아도 은연중에 그렇게 생각한다고 봐요.
최근에 친구한테 이 얘기를 넌지시 꺼내 봤는데, 그 친구가 혼잣말처럼 이러더라고요. "가끔은 유튜브 영상을 보는 게 나은지, 문제를 푸는 게 나은지 궁금해. 잘 모르겠어."
이건 제 주변에서 짜증 나게 반복되는 경향을 보여 주는 일화 하나예요. 제가 그런 부류만 끌어당기는 걸 수도 있고요(그래서 대체 나한테 뭐가 문제인가 싶어 걱정도 했어요). 그런데 가족 중에도 마블 같은 시시한 걸로 똑같은 나쁜 습관을 보이는 사람이 있어요. 만화 포럼 글은 읽으면서 정작 만화는 읽지 않고, 그 장르에 괜히 소유욕까지 느껴서, 만화를 실제로 읽는 제가 디즈니 마블 영화를 비판하면 화를 내요.
제가 거슬려 하다 보니 과민하게 반응하는 것뿐이길 바라지만, 어쨌든 배우고 있다는 대상을 직접 연습하거나 구현해 보지 않고 콘텐츠만 소비하면서 정말 배웠다고 생각하는 사람들이 분명히 있다는 걸 알게 됐어요.
물론 사람마다 다르겠죠. 제 인간관계가 유별난 탓일 수도 있고요.
ㅋㅋ 맞아요
"그냥 읽지 마세요. 맞서 싸우세요! 스스로 질문을 던지고, 스스로 예를 찾고, 스스로 증명을 발견하세요. 이 가정이 꼭 필요한가? 역(converse)도 성립하는가? 고전적인 특수한 경우에는 어떻게 되는가? 퇴화된(degenerate) 경우는? 증명은 가정을 어디에서 쓰는가?"
-GOAT 폴 핼모스
한 교수님께 이런 멋진 비유를 들은 적이 있습니다. 수학을 배우는 건 자전거 타기를 배우는 것과 같아서, 어느 순간에는 그냥 자전거에 올라타야지 '자전거 이론'만 공부하고 있을 수는 없다는 겁니다.
저는 수학이 다른 과목과 그렇게 다르다고는 생각하지 않습니다. 다만 수학에는 어디든 지니고 다니며 실험해 볼 수 있는 하나의 세계라는 이점이 있습니다. 탐구하는 데 도구가 그리 많이 필요하지 않으니까요.
공학도 한마디로 그래요. 의학도, 소프트웨어도요. 수학만의 특징이 아니에요.
어려운 건 대부분 다 그렇지 않나요?
아마 맞는 말씀이겠네요.
https://en.wikipedia.org/wiki/Deep_learning
(2023)
선형대수가 성립하는 이유가, 대수(체 위의 대수)가 물리적 현실과 근사적으로 동형이기 때문이라고 배운다면 대다수 사람이 선형대수 등을 이해할 거라고 저는 확신합니다.
그런 관점에서 보면 함수 합성을 대체 연산자로 쓰는 것 같은 억지스러운 예시는 필요 없습니다.
체 위의 대수의 정의를 따르는 기호 체계라면 무엇이든, (물리적일 수도 있는) 합성 연산에 관해 예컨대 자연수와 같은 성질을 가진다는 것만 학생에게 가르쳐도 충분합니다.
이걸 이해하지 못한다면 선형대수를 이해하지 못하는 겁니다.
이렇게 생각해 보세요. 수는 기호로도 단어로도 쓸 수 있습니다. 유일한 보편 언어란 없으니, 하나의 수가 여러 단어로 표현되어도 같은 뜻입니다.
이제 애초에 수라는 개념을 무시해 봅시다. 수가 발명된 적이 없다고 치죠.
모두가 기호를 a+a=b, b+a=c 같은 식으로 결합할 수 있다는 걸 발견합니다. 그러면서 단어를 결합하는 방식에 관한 법칙이 어떤 성질을 따른다는 것도 깨닫습니다.
구슬을 물리적으로 합치는 것도 같은 규칙을 따른다는 걸 알아차릴 겁니다.
그러다 한 손에 구슬 하나, 다른 손에 구슬 하나가 있는 상태를 물리적으로 합성하면 한 손에 구슬 두 개가 있는 상태가 된다는 걸 발견합니다.
그다음에는 구슬의 양을 다르게 표현할 생각을 합니다. 예를 들어 구슬 하나 = 손가락 하나로요.
동형사상을 발명한 겁니다.
구슬을 손가락으로 바꾸고, 손가락을 더한 다음, 다시 구슬로 바꾸는 것은 구슬 하나와 구슬 하나를 가져다 합치는 것과 같습니다.
선형대수는 그렇게 발명되었습니다. 수학적 정의가 무엇인지 아는 사람이 아무도 없던 시절보다도 훨씬 전에요.
수정: 분명하지 않을까 봐 덧붙이면, 어떤 물리적 합성 연산이든 체 위의 대수를 이룰 수 있습니다.
기계식 계산기에서는 기어의 움직임이 합성 연산입니다.
컴퓨터에서는 가산기가 전자를 기반으로 한 합성 연산입니다.
따라서 쓸모 있는 계산을 해내는 쓸모 있는 컴퓨터를 만들 수 있는 이유는, 현실 세계의 상태와 컴퓨터의 상태 사이에 동형사상이 존재한다는 사실과 직접 맞닿아 있습니다.