요약
양자 상태는 실제 공간이 아니라 가능성의 공간인 힐베르트 공간 속 화살표로 표현됩니다.
퀀타 매거진의 찰리 우드 기자가 쓴 해설 기사입니다. 1920년대에 따로 나온 두 양자역학을 존 폰 노이만이 힐베르트 공간이라는 하나의 틀로 묶은 과정과, 이 공간이 실재인지를 둘러싼 논쟁을 다룹니다.
왜 중요한가
- 양자 현상을 이해하려면 익숙한 3차원 공간을 떠나 추상적인 가능성의 공간에서 생각해야 한다는 점을 보여 줍니다.
- 숀 캐럴은 힐베르트 공간을 실재의 근본 무대로 보지만, 조너선 소스는 쓸모 있는 도구일 뿐이라고 봅니다.
- 블랙홀과 양자중력처럼 힐베르트 공간으로 다 설명되지 않는 영역이 있어, 이 틀은 아직 바뀌는 중입니다.
핵심 내용
- 양자 상태는 힐베르트 공간 속 화살표(벡터)이고, 한 축에 드리운 그림자가 길수록 그 결과가 나올 확률이 높습니다.
- 화살표는 관측 사이에는 매끄럽게 돌다가, 측정하는 순간 무작위로 한 축에 달라붙습니다.
- 1927년 23세의 폰 노이만은 하이젠베르크의 행렬역학과 슈뢰딩거의 파동역학이 같은 상태를 달리 쓴 것임을 보였습니다.
- 공간의 차원은 가능한 결과의 수와 같아서 큐비트(양자 컴퓨터의 기본 단위)는 2차원, 자유 입자는 무한 차원입니다.
- 폰 노이만은 1935년 편지에서 힐베르트 공간을 더는 믿지 않는다고 썼고, 이후 더 추상적인 폰 노이만 대수를 만들었습니다.
HN 반응
- 확률이 0인 상태도 있으니 모든 일이 가능하지는 않다는 지적이 많았고, 본문과 상관없는 제목 논쟁이라는 반론도 나왔습니다.
- 노벨상 수상자 볼프강 케테를레의 패널 토론과 숀 캐럴의 팟캐스트 Mindscape를 함께 볼 자료로 추천하는 댓글도 있었습니다.
모든 일이 가능한 건 아니고, 가능성이 있는 일만 가능합니다. 0과 1 사이의 수를 전부 모으면 서로 다른 수가 끝없이 나오지만, 그중에 3은 없습니다.
예를 들어 전하가 보존되지 않는 세계가 존재할 확률은 0입니다.
CPT 대칭성은 보존되지 않으니, 그게 꼭 정해진 사실은 아니죠.
전하를 이산적으로 만드는 게이지 대칭성이나, 대칭성에서 보존 법칙을 끌어내는 메커니즘이 무엇인지 우리는 모릅니다. 그러니 무엇이 가능하고 불가능한지 너무 단정적으로 말하는 건 위험해요.
극단적으로는 규칙이 고정돼 있다고 가정하는 데 그치지 않고, 현실을 만들어 내는 수학적 구조를 직접 조작하는 메타 기술을 상상해 볼 수도 있습니다. 가능할 수도 있고 아닐 수도 있지만, 규칙은 어딘가에서 나왔을 텐데 그것이 하드코딩돼 있다는 보장은 절대 없습니다.
제가 하려던 말은, 물리학의 계산 도구를 쓰면 어떤 분기에서도 전하 보존이 깨지지 않는다는 거였습니다.
그런데 제 글이 형편없어서 그 점을 강조하지 못했네요. 양자역학에서는 어떤 상태의 확률이 0일 수 있고, 모든 것이 가능하다고 할 때 말하는 건 바로 그 확률들입니다.
인식론적인 면도 있습니다. 우리 이론이 어떤 식으로든 틀렸을 가능성은 있고, 그 가능성은 모델 안에서는 0이 될 수 없어요. 애초에 하나의 모델로 제한하지 않겠다는 게 요점이니까요. 참고로 깔끔한 극한 사례를 들어 주셔서 정말 좋았습니다.
전하 보존을 깨는 이론을 생각해 낸 사람들이 분명 있겠지만, 그러려면 U(1)을 깨야 할 겁니다. CPT가 깨뜨리는 보존량이 있는지는 모르겠습니다. 이산 대칭성이니 뇌터의 정리가 적용되지는 않을 테고요.
전하는 보존됩니다!
CPT의 C는 전하만 바꾸는 게 아니라 전자 <---> 양전자, 쿼크 <---> 반쿼크 등으로 바꾸는 겁니다.
전하 보존은 U(1) 게이지 대칭성에서 나옵니다. 약한 상호작용과 섞이는 걸 무시하면 거의 자명하고, 섞인 뒤에도 어쨌든 U(1) 게이지 대칭성은 남아 있습니다.
팽창하는 우주에서는 질량이 보존되지 않는 걸로 아는데요. 그렇다면 전하는 왜 보존된다는 건지 모르겠습니다.
그렇다면 중입자 비대칭 문제의 원인에 흥미로운 시사점이 생깁니다.
중입자수가 처음부터 0이 아니었고 계속 보존됐거나, 중입자수(양성자 대 반양성자 등)의 비보존이 경입자수(전자 대 양전자 등)의 비보존과 짝을 이뤄야 하거나, 경입자수의 균형 없이도 일어날 수 있는데 그러면 전하가 보존되지 않는 겁니다.
안타깝게도(저한테는) 이 시사점들은 제 수준을 넘어섭니다. 제가 잘 아는 분야가 아니라서 LLM이 꾸며낸 말을 하는지 가려낼 수 없으니, LLM과 유익한 대화를 나누기도 어렵고요.
결국 어떤 추상화 수준을 적용하느냐의 이야기 아닌가요? 0과 1 사이에 가능성이 무한히 있다면, 한계가 있다고 느끼는 건 우리가 그것을 다루는 방식 때문일 뿐이잖아요.
아니요. 너무 깊이 읽으신 것 같아요. 제 요점은 3을 찾으려면 3을 찾는 게 가능해야 한다는 겁니다. 0~1 구간에서 찾는다면 불가능하죠. 다른 댓글들도 어느 정도 언급했듯이 모든 정수를 실수에 대응시켜서 "3"을 찾을 수는 있겠지만, 그렇게까지 할 거면 왜 그냥 그 수가 실제로 들어 있는 구간에서 찾지 않습니까?
적어도 저는 무슨 말씀인지 잘 모르겠습니다. 논리적으로 가능한 것만 따지면, 모든 정수와 그 이상이 이 구간의 부분집합에서 대응된다고 가정할 경우 그 수는 존재합니다.
그런데 실무 차원에서 보면 대응시키는 절차는 공짜가 아닙니다. 그것을 처리하는 데 물리적, 에너지적, 정신적 비용이 들고, 정수를 더 단순하게 표현하면 그 비용이 낮아집니다.
하지만 더 단순한 정수 표현은 나타낼 수 있는 상황이 더 적습니다. 어떤 틀 안에서 다뤄야 할 것이 단순한 표현으로 다 덮인다면, 상황이 변해 그 표현이 감당하지 못하는 경우가 생길 위험을 감수할 만하다고 경제적 관점에서 주장할 수 있습니다.
제 인상으로는 말씀하신 전제가 이 구분 가능한 측면들을 뒤섞고 있습니다. 물론 제 인상도 제 좁은 세계 표상에 갇혀 있고, 아무리 열린 마음으로 경험에서 배우려 해도 한계가 있겠지만요.
그쪽도 너무 깊이 생각하고 계신 것 같아요. 과제는 3을 찾는 것이었지, 3과 같은 무언가를 찾는 게 아니었습니다. 표현을 어떻게 고르든, 그 표현 안에서는 찾을 수 없는 다른 "3"을 만들어 내는 건 어렵지 않아요. 표현을 바꿀 거면 왜 찾는 구간을 바꾸지 않나요?
3이 0과 1 사이에 있지 않다는 얘기예요. 실제로 없고요.
0.3개의 이산 단위와 3개의 이산 단위는 뭐가 다를까요?
저는 가끔 우리가 지도를 영토와 혼동하는 일이 얼마나 많은지 궁금합니다.
그렇다고는 해도, 0~1 사이의 ∞ 안에 문자 그대로 3이 나오지 않는다는 건 인정합니다. 다만 우리가 가정하는 이 특정한 ∞가 실제 무한이 아니라 상징적인 것이어서, 무언가를 완전히 넘어서지 못하는 경우라면 얘기가 달라지겠죠. 우리가 실제 무한에 가장 가까이 가 본 것도 그 표현이나 기호일 뿐이라서 그건 알 수 없고요.
수정: 이 질문이 어리석어 보이거나 실제로 어리석다는 걸 깨달았습니다. 그래도 저는 0.3을 보면 그 사이에 0.0, 0.1, 0.2가 있다고 보게 됩니다. 0.3이 의미하는 건 그게 아닌데도요. 하지만 실제 무한을 검증할 수 있다는 주장에는 한 치도 물러서지 않겠습니다.
0과 1 사이에 무한한 가능성이 있는 게 아닙니다. 무한한 수열이 있는 것이고, 그 가능성은 상당히 엄격하게 제한돼 있어요.
수정: 무한 수열이 아니라 무한 집합이라고 해야 할 것 같네요.
임의의(하지만 무한하지는 않은) 정보를 이론적으로 인코딩할 수는 있겠지만, 밑바탕에는 여전히 이산적인 상태들이 있습니다.
무한 집합을 쓸 수 있는데 무한한 정보를 인코딩할 수 없다고 주장하시는 근거가 뭔가요?
말을 느슨하게 쓰신 거라고 봅니다. 자연어로 수학을 하면 이런 일이 자주 생기고, 저도 조심하는데도 그럴 때가 있을 수 있어요.
시공간이 범위는 무한하지만 플랑크 스케일에서 이산적이라면 ℵ₀이 될 것이고, 힐베르트 공간은 실수값이라 (ℵ₁의 벡터)가 됩니다.
모든 양자 상태가 밑바탕에 실수값을 갖고 있고 입자 하나의 양자값 하나만으로도 ℵ₁이라고 해도, 실제로는 베켄슈타인 한계가 인코딩할 수 있는 정보량을 제한할 겁니다.
그런데 실수의 농도가 ℵ₁이 아닐 수도 있어요. ZFC에서는 말 그대로 증명 불가능합니다.
찾아보고서야 알았는데, 제가 제대로 이해했다면 확실한 건 |ℝ| = ℵₖ(k≥1)라는 것뿐이죠? 그렇다면 같은 논점이 적용됩니다.
현실에는 무한 집합이 없습니다.
무한은 수학을 많이 단순하게 해 주는 추상 개념이지, 실재하는 건 아니에요.
그럼 시공간이 이산적이라는 증거라도 갖고 계신 건가요?
방금 기사를 읽었는데 댓글이 도무지 이해가 안 됩니다. 기사 내용과는 전혀 관련이 없고, 제목과도 겉핥기로만 관련이 있어요.
다세계 가설은 힐베르트 공간을 액면 그대로 받아들이고, 특정 미래를 "실제로 일어난 것"으로 특별 대우하는 "파동함수 붕괴" 같은 개념을 버린 데서 나온 외삽입니다.
당신이 대통령이 되는 미래는 가능하지만, 말하는 오이가 되는 미래는 불가능합니다. 이 직관적인 사실은 「에브리씽 에브리웨어 올 앳 원스」처럼 다세계를 다룬 대중문화에서는 간과되곤 합니다. 거기 나오는 우스꽝스러운 평행 우주들은 "일어날 수 있다고 생각할 수 있는 모든 일"이 아니라 "작가들이 떠올린 웃겨 보이는 무엇이든"이라는 훨씬 느슨한 규칙을 따르니까요.
그래도 "내"가 말하는 오이가 되는 미래는 가능할 것 같은데요?
이쯤 되면 개인 정체성이라는 감각을 포기해야 한다는 점은 접어 두더라도, 지금 우리가 나라고 부르는 물질이 내 기억이 담긴 뇌를 가진 말하는 오이로 변할 수 없다고 말하는 물리 법칙은 없습니다. 다만 극도로 구체적인 일이 터무니없이 많이 일어나야 하는데, 일어날 수 있는 일의 수는 그보다 더 터무니없이 많다는 거죠.
기사는 아마 좋을 텐데 제목은 낚시와 헛소리가 섞인 것 같네요. 피곤하니 기사는 건너뛸게요.
(저자가 제목을 정하지 않는 경우가 많다는 점은 참고하세요.)
"힐베르트 공간은 모든 가능성의 공간이다." -- 볼프강 케털리
노벨상 수상자 패널에서 힐베르트 공간을 탐구한다는 것이 보다 실용적인 관점에서 실제로 무엇을 뜻하는지를 두고 인상적인 토론이 오갔는데, 그가 그에 대한 답을 이렇게 간결하게 요약했습니다. 그 토론은 이 글타래의 제목에 오른 기사를 보완하기에 좋을 겁니다.
이 글타래의 다른 분들이 이미 올바르게 짚었듯이, 어떤 것 --- 여기서 '것'은 관측 가능한 결과를 낳는 어떤 행동으로 더 정확히 정의됩니다 --- 이 힐베르트 공간에 존재한다고 해서 가능하다는 뜻은 아닙니다. 하지만 케털리와 다른 분들이 말하려던 건, 새로운 이론과 실험을 만들어 갈수록 힐베르트 공간이 우리 질문의 결과에 부여할 수 있는 구조의 안내를 받아 자연과 그 안에서 가능한 것을 더 많이 탐구할 수 있다는 점입니다.
그렇긴 해도 케털리가 저보다 훨씬 잘 설명합니다.
맥락이 있는 케털리의 답변: https://youtu.be/DNhmYkTW_jI?t=4220
기사에서 이름이 언급된 션 캐럴은 "Mindscape"라는 훌륭한 팟캐스트를 운영합니다( https://preposterousuniverse.com/podcast/ ).
저는 특히 데이비드 월리스가 나온 편이 좋았어요.
저도 이 팟캐스트 정말 좋아해요. 혼자 진행하거나 물리학에 깊이 파고드는 회차는 가끔 이해가 안 가지만, 늘 재미있게 듣습니다. "Jody Azzouni on What Is and Isn't Real" 편이 즐거웠는데, 무언가가 "실재한다"/"존재한다"는 게 무슨 뜻인지를 놓고 (다른 것들 중에서도) 논쟁하다가 수학적 개념이나 허구의 인물 같은 것으로까지 넓혀 가거든요.
저는 이 편도 눈에 띄었는데, 정확히 왜 그랬는지는 기억이 안 나네요: https://www.youtube.com/watch?v=oLKER6zFZ0A
Mindscape는 현존하는 최고의 팟캐스트 중 하나예요.