요약
하일브론 문제의 최고 기록 배치를 정확한 좌표와 검증 도구로 한데 모은 사이트가 나왔습니다.
하일브론 문제는 넓이 1인 영역에 점 n개를 놓아, 세 점이 만드는 가장 작은 삼각형의 넓이를 최대로 키우는 문제입니다. 사이트를 만든 tejstead는 최근 아마추어 수학자들이 기록을 잇달아 깨고 있어 이 문제를 알리려고 사이트를 열었다고 밝혔습니다.
왜 중요한가
- 흩어져 있던 최고 기록을 좌표와 검증 도구와 함께 모아, 누구나 새 기록에 도전하고 확인할 수 있게 했습니다.
- 최근 기록 상당수를 아마추어가 세웠고, AI 모델의 도움을 받았다고 밝힌 기록도 있습니다.
핵심 내용
- 정사각형, 삼각형, 최적 볼록 영역(오목한 곳이 없는 도형) 세 가지 틀에서 n=3부터 36까지의 최고 값을 표로 정리했습니다.
- 각 배치에는 정확한 좌표, 대칭 분석, 관련 증명 문헌이 붙어 있습니다.
- 브라우저에서 유리수 산술(반올림 오차 없이 분수로 계산하는 방식)로 기록을 직접 검증할 수 있습니다.
- 9월 말부터 10월 초까지 새 기록 10건이 나왔고, 정사각형 n=25는 3.74% 개선됐습니다.
- 볼록 영역 n=31과 n=33 기록을 3% 넘게 끌어올린 기여자는 Opus 5.5의 도움을 받았다고 적었습니다.
HN 반응
- 한 이용자는 n이 커질 때의 상한이 1981년 n^(-8/7)에서 40년 넘게 멈췄다가 최근 n^(-7/6)까지 내려왔다고 보충했습니다.
- 목록이 왜 36 근처에서 끝나느냐는 질문에, 운영자는 계산 한계 때문일 뿐이라며 GitHub PR로 새 기록을 보내 달라고 답했습니다.
제가 개인적으로 깊이 관심을 두고 있는 수학 주제가 HN에 올라오다니 반갑습니다!
순수수학의 관점에서 저는 점근적 거동(n이 아주 커질 때 어떻게 되는가)에 가장 관심이 있습니다.
흥미로워하실 만한 이야기를 몇 가지 소개합니다.
넓이가 대략 1/n보다 작은 삼각형이 반드시 존재한다는 논증이 있습니다. 단위 정사각형을 세로 띠 n/3개로 나눕니다. 비둘기집 원리에 따라 어느 한 띠에는 점이 세 개 들어갑니다. 띠의 넓이가 대략 1/n이므로, 이 세 점이 만드는 삼각형의 넓이도 많아야 1/n입니다.
반대로, 알려진 가장 좋은 하한은 (log n)/n^2 정도로, 1/n과는 아주 큰 차이가 납니다.
여러 저자의 상당한 노력 끝에 콤로시, 핀츠, 세메레디가 1981년에 본질적으로 n^(-8/7) 꼴의 상한을 증명했지만, n^2 꼴의 하한과는 여전히 꽤 거리가 있습니다.
놀랍게도 40년이 넘도록 진전이 없다가, 몇 년 전 MIT 박사과정생 두 명(알렉스 코언, 디마 자하로프)이 코스민 포호아타와 함께 이 상한을 조금 개선했고, 1년쯤 뒤에는 n^(-7/6)까지 끌어올렸습니다. (이들의 연구 개요는 [1]을 보세요.)
이 문제는 '근접 접촉(incidence)의 하한'이라는 더 일반적인 접촉 기하 문제군과 관련이 있습니다. 점과 직선 같은 기하 대상의 집합이 주어졌을 때, 처음 예상보다 '거의 접촉'하는 쌍이 실제로 더 많다고 보장할 수 있는 조건은 무엇인가 하는 문제입니다.
[1] https://www.quantamagazine.org/the-biggest-smallest-triangle-just-got-smaller-20230908/
재미있는 사실이 있어요. 하일브론 시는 자동차 번호판에 HN이라는 코드를 쓴답니다. (물론 도시 이름이 아니라 사람 이름에서 따온 문제이긴 하지만요.)
하일브론에서 태어나 지금도 근처에 사는 저한테는 정말 "그게 무슨 문제야?" 싶은 순간이었어요.
n이 작은 경우를 다루는 관련 문제가 더 있다면, 이 웹사이트 어딘가에 추가할 수 있을지 궁금하네요.
말로 설명하기 가장 쉬운 것들은 아마 이런 문제일 겁니다.
삼각형 대신 k각형으로 같은 문제를 묻는 것.
점-직선 쌍 (x1, l1), ..., (xn, ln)이 주어졌다고 합시다 [[즉, 각 xj는 직선 lj 위에 있습니다]]. i != j인 xi와 lj 사이의 거리 중 가장 작은 값을 생각합니다. 하일브론 문제에서처럼, 이 최소 거리가 가능한 한 커지도록 하는 배치를 찾고 싶은 겁니다.
2번에서 이미 '접촉 하한' 문제의 핵심 특징을 볼 수 있습니다. 문제가 의미를 가지려면 처음부터 어떤 '자명한 접촉'이 있다고 가정해야 한다는 점입니다. 이 조건이 없다면 점은 전부 위쪽에, 직선은 전부 아래쪽에 두고 끝내 버리면 되겠죠! '자명한 접촉'이 점과 직선을 공간상에서 서로 섞이게 만들고, 그 상태에서 '자명하지 않은 접촉'을 찾아내려는 겁니다.
1번의 점근적 거동은 아직 거의 열려 있고(하일브론 문제보다 상당히 어려워 보입니다), 2번은 최근 코스민이 풀었습니다 [1].
사실 (2)에 대한 정보는 하일브론 문제에 대해서도 곧바로 뭔가를 알려 줍니다. n개의 점으로 n/2개의 직선을 정의하세요. 그러면 점 n/2개와 직선 n/2개가 생깁니다(각 직선을 정의한 '나머지' 점은 잊어버립니다). 여기에 (2)에서 얻은 가장 좋은 결과를 적용해, 어떤 직선과의 거리가 r인 점을 찾습니다. 그 직선은 원래 다른 두 점에서 나온 것이므로, 넓이가 대략 r인 삼각형이 나옵니다. 하일브론 문제에서 알려진 가장 좋은 점근적 결과는 바로 이렇게 나온 것입니다.
[1] https://arxiv.org/pdf/2607.20422
안녕하세요.
하일브론 문제를 소개하려고 이 웹사이트를 만들었습니다. 최적화 분야의 고전 문제인데, 최근 아마추어 수학자들이 새 기록을 잇달아 세우고 있습니다. 여러분도 그 주인공이 될 수 있습니다!
이 글이 일종의 "두 번째 기회" 대기열에 들어갔던 모양이네요. @dang 감사합니다! 질문 있으시면 답해 드리려고 자리를 지키고 있겠습니다.
사이트의 GitHub 저장소는 여기입니다: https://github.com/tejstead/heilbronn-site
정사각형 n=16 항목도 꼭 봐 주세요. 꽤 멋진 애니메이션을 넣어 뒀습니다.
현재 최고 기록으로 목록에 오르려면 어떤 기준을 충족해야 하나요? (그 목록이 왜 끝없이 이어지지 않는지 좀 헷갈려서요.)
새로운 기록을 올리고 싶으시면 편하게 PR을 보내 주세요. 사이트가 지금 35~36개 점에서 멈춰 있는 건 계산 능력의 한계 때문일 뿐, 다른 특별한 이유는 없습니다.
Magic Soap 때문에 왔는데요
네?
Spaceship Earth의 Magic Castile Soap요! ALL-ONE! DILUTE DILUTE OK! KEEP OUT OF EYE!